природни бројеви и својства
Скуп природних бројева означавамо са N={1, 2, …,н,..}
Ово је бесконачан скуп.
Чине га парни и непарни бројеви.
Парни су; 2,4,…2n, а непарни 1, 3, .., (2n+1)
Сваки природни број има свог следбеника.
Следбеник броја n је n+1. сви природни бројеви сем броја 1 имају свог предходника. Предходник броја n је број n-1.
Скупу природних бројева не припада број 0 (нула). Број 0 можемо посматрати у овом скупу. То је скуп N_0=N U {0}
Бројеве можемо означавати малим словима (општи бројеви): а, б,...
За два различита броја а и б из N важи једна од релација
а < б (5 < 6)
а = б (7=7)
а > б (6 > 5)
Сабрати два броја а и б значи наћи број ц такав да је
а + б = ц
Бројеви а и б су сабирци (суманди), а број ц збир (сума).
У скупу N_0 за сабирање важе следеће особине:
1.Нула је неутрални елемент у односу на сабирање
а+0=а и 0+а=а.
5+0=5 И 0+5=5
2.Комутативност сабирања
а+б=б+а.
5+6=11
6+5=11
5+6=6+5
3.Асоцијативност сабирања
(а+б)+ц = а+(б+ц).
(2+6)+ 8= 8 + 8=16
2+(6 + 8 )=2+14=16
(2 + 6)+ 8 = 2+(6 + 8 )
Одузети број б од броја а значи наћи број ц такав да је
а– б = ц (а ≥ б)
Одузимање у скупу Н_0 није дефинисано за а<б.
2 - 5
Број а је умањеник, број б је умањилац а број ц разлика (диференција).
За сваки број а из скупа Н_0 вриједи:
а – 0 = а и а – а = 0.
4 - 0 = 4
9 - 9= 0
Помножити два броја а и б значи наћи број ц такав да је аб=ц
Број а је множеник (мултипликанд), број б је множилац (мултипликатор), а број ц је производ (продукт).
Множеник и множилац једним именом зову се фактори.
Множењем бројева из скупа природних бројева добије су увијек број из скупа природних бројева
За множење природних бројева важе следеће особине:
1. Број 1 је неутрални елемент у односу на множење
а•1=а и
1•а=а
3•1=3 1•7=7
2. Ако је један чинилац 0 тада је производ 0.
а•0=0 и 0•а=0
: 6•0=0 0•2=0
3. Комутативност множења
a•b=b•a
5•6=30
6•5=30
5•6=6•5
4. Асоцијативност множења
a•(b•c)=(a•b)•c
2•(4•3)=2•12=24
(2•4)•3=8•3=24
2•(4•3)=(2•4)•3
5. Дистрибутивност множења према сабирању
(a+b)•c=a•c+b•c
(4 + 3 )•2=7•2=14
4•2+3•2=8+6=14
(4+3)•2=4•2+3•2
6. Дистрибутивност множења према одузимању
(a-b)•c=a•c-b•c za a≥ b
(12-3)•2=9•2=18
12•2-3•2=24-6=18
(12-3)•2=12•2-3•2
Ако у задатку имамо рачунске операције истога степена рачунамо их по редоследу како су назначене.
18-2+4=16+4=20 18:2:3=9:3=3Ако имамо рачунске операције различитих степена, прво множимо и делимо, а затим сабиремо и одузимамо.
2+3•4=2+12=14Ако узадатку имамо заграде, најпре израчунавамо оно што је у њима.
(2+3)•4=5•4=20
У математици се користе округле (, углате [ и витичасте { заграде. Најприје рачунамо оно унутар округлих затим унутар углатих и на крају унутар витичастих заграда.
1. један сабирак= збир - други сабирак
a=c-b i b=c-a
1+3=4 → 3=4-1 и 1=4-3
односно за једначине имамо
x+4=8
x=8-4
x=4
2.умањеник = разлика + умањилац
a=c+b
12-3=9 → 12=9+3
Једначине
x-6=2
x=2+6
x=8
3. умањилац = умањеник - разлика
b=a-c
12-3=9 → 12=9+3 → 3=12-9
Оденосно
16-x=2
16=2+x
x=16-2
x=14
4. Један чинилац = производ : други чинилац
5. a=c:b i b=c:a
2•4=8 → 2=8:4 → 4=8:2
односно
x•5=20
x=20:5
x=4
5. Дељеник = количник • делилац a=c•b
32:8=4 → 32=4•8
односно
x:7=4
x=4•7
x=28
6. Делилац = дељеник : количник b=a:c
32:8=4 → 8=32:4
односно
28:x=4
x=28:4
x=7
Задаци за вежбање
Задатак 1
Израчунати вредност израза:
438 + 162 : 6 =
60 : 6 + 4 * 123
Задатак 2
Израчунати збир најмањег и највећег троцифреног броја, који се састоји од цифри: 0,2, 6 ако се цифре
не понављају
понављају
Израчунати вредност израза:
438 + 162 : 6 =
60 : 6 + 4 * 123
438+162:6=
438+27=465
60:6+4*123=
10+492=502
Задатак 2
Израчунати збир најмањег и највећег троцифреног броја, који се састоји од цифри: 0,2, 6 ако се цифре
не понављају
понављају
највећи задани троцифрено број је 620, а најмањи 206
620+260=880
Највећи задани троцифрени број је 666, а најмањи 200
666+200=866
Задатак 3
Постоји ли природни број чији је производ цифри 1386.
Задатак 4
Ученик је у току 19 дана решио 73 задатка. Сваког од првих 11 дана решио је по x узадатака, а сваког од преосталих дана по y задатака. Одредити x и y
Задатак 5
Одредити цифре x, y тако да број 1984xв буде дјељив са 8 и 9.
Задатак 3
Постоји ли природни број чији је производ цифри 1386.
Задани број 1386 раставимо на просте факторе
1386=2*3*3*7*11
Посто су фактори броја 1386 бројеви 81, 2, 3, 3, 7 и 11 он не мозе бити производ цифри неког броја, зато сто цифра броја мозе бити једноцифрени а не двоцифрени број.
Задатак 4
Уценик је у току 19 дана ријесио 73 задатка. Сваког од првих 11 дана ријесио је по x узадатака, а сваког од преосталих дана по y задатака. Одредити x и y
19-11=8
11x + 8y =73
у скупу Н ова једнацинаq има висе рјесења. Посматрајмо скуп {1,2,3,4,5,6,}
за x=1 имамо 73-11=62 ( није дјељиво са 8 )
за x=2 имамо 73-2=51 ( није дјељиво са 8 )
за x=3 имамо 73-33=40
за x=4 имамо 73-44=29 ( није дјељиво са 8 )
за x=5 имамо 73-55=18 ( није дјељиво са 8 )
за x=6 имамо 73-66=7 ( није дјељиво са 8 )
из наведеног видимо да је само за x=3 остатак 8y=40 односно
y=5, тј (x, y)=(3,5)
Задатак 5
Одредити цифре x, y тако да број 1984xв буде дјељив са 8 и 9.
да би број 194xy био дјељив са 9 мора бити
1+9+8+4+x+y=22+x+y дјељив са 9
нејмањи такав број је
22+x+y=27
x+y=5
Ову једнакост задовољавају парови бројева 0, 5; 1, 4; 2,3;3, 2;4, 1; и 5, 0
Односно имамо бројеве
198405
198414
198423
198432
198441
198450
Да би број био дјељив са 8 y мора бити паран број и број xy дјељив са 78
односно тражени број је 198432
Следећи број који задовољава услов дељивости збира 22+x+y са 9 је
22+x+y=36
x+y=14
пошто x и y морају бити једноцифрени бројеви број xy мора бити
68, 86 или 77
како ни један од ових бројева није дјељив са 8 тразени број је 198432
РЕД РАЧУНСКИХ ОПЕРАЦИЈА
У сложенијим задацима:
1. рачунамо изразе у заградама, а остало препишемо
2. множимо и делимо, остало препишемо
3. сабирамо и одузимамо (по реду)
100 – 5*4 - 30 : 6 + 10 – 64:8 =
100-20-5+10-8=
80-5+10-8=
75+10-8=
85-8=77
Због прегледности и лакшег праћења решавања задатка након знака = пожељно је да идемо у нови ред.
При решавању задатка прво видимо шта прво рачунамо. У нашем примеру то је множење и дељење. Подцртамо све што треба да урадимо прво. То израчунамо а остало преписујемо по реду. На исти начин радимо и следеће редове.
2*4*2 - 81:9-7*5 =
84-9-35 =
75-35 =
40
3*2* 4:8*9 =
6*4:8*9=
24:8*9 =
3*9 =
27
Ако је у задатку само сабирање и одузимање, односно множење и дељење рачунске операције изводимо по реду.
3*2*4:8*9 = 27
у овом случају , кад је лако израчунати напамет не морамо задатак решавати поступно већ га урадимо напамет
4*2*6+2*7 =
48+14=
62
8*•7–17*3 + 3*3*8 =
56- 51+72 =
5+72 =
77
50-7*7+36:2 =
50-49 +18 =
1+18 =19
6 302+18-70*90 =
6 302+18-6 300 =
6 320-6 300 =20
У изразима који су задани са заградама имамо
12+(13+14) • (70:10) =
12+27*7 =
12 + 189 =201
25-(4+3*6) =
25-(4+18) =
25-22 =3
Ако у загради имамо више рачунских операција онда прво у загради урадимо рачунске операције исто као да нема заграде стим да заграду препишемо а тек онда се ослобађамо заграде.
Заграде смо се ослободили тек онда кад добијемо један број као резултат израза у њој.
25-(4+3*6) =
25-4+18 =
21+18 =
39 ( нетачно)
Ово је пример шта се догоди ако једноставно испустимо заграду, односно ако не израчунамо прво израз у њој.
25-(4+3*6) =
=25–(4+18) =
25-22=
3 ( тачно)
заграде могу бити
округле ( )
угласте []
витичасте {}
Код постављања задатка заграде се постављају на следећи начин {[()]}
Заграда се ослобађамо на тај начин сто прво израчунамо израз у малој , затим у угластој и на крају у витичастој загради.
30-[31-(20+8 )]*9 =
30-[31-28]*9 =
30-3*9 =
30-27=
= 3
2*{80-[(20*10):(32:8 )]}=
2*{80-[200:4]}
2*{80-50}=
2*30=
60
150-{ 52-[4*(30-6*4):2]}*3 =
150-{52-[4*(30-24):2]}*3 =
150-{52-[4*6:2]}*3=
150-{52-12}*3=
50-40*3=
150-120=
30
Задатак 6
Одредити 5 различитих природних бројева чији је производ 420 а збир 20.
Задатак 7
Доказати да је за сваки природан број н број (10^н +35)/45 такође природан број.
Задатак 8
Одредити најмањи седмоцифрени број дјељив са 36 чије су све цифре различите.